Rätseln mit Eder: Stimmt diese Vermutung?

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Die Seitenlängen a, b und c eines Dreiecks sind natürliche Zahlen.
© Hans-Karl Eder (Ausschnitt)
Man weiß, dass eine Höhe des Dreiecks genauso lang ist wie der Summenwert der beiden anderen Höhen.
Marie hat herausgefunden, dass in solch einem Fall der Summenwert von a2 + b2 + c2 immer eine Quadratzahl ist!
Stimmt dies tatsächlich?
Maries Vermutung stimmt.
Drei Abbildungen des Dreiecks ABC mit den drei eingezeichneten Höhen ha, hb und hc:
© Hans-Karl Eder (Ausschnitt)
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Die Größe der Fläche F des Dreiecks ABC lässt sich jeweils mit einer Seitenlänge
und der zugehörigen Länge der Höhe berechnen. Die Längen der drei Höhen sind jeweils abhängig von der Flächengröße F und der entsprechenden Seitenlänge:
© Hans-Karl Eder (Ausschnitt)
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