Strecke halbieren – ohne Zirkel, aber mit Parallele
Gegeben sind zwei Punkte A und B und zu der durch sie gehenden Geraden eine Parallele. Konstruieren Sie bitte ohne Zirkel nur mit dem Lineal (und natürlich ohne Benutzung der Millimeterstriche) den Mittelpunkt zwischen A und B.
Wie teilt der Schnittpunkt der Diagonalen in einem Trapez die durch sie gehende Parallele zu den Grundseiten?
Gegeben sind A und B und die Gerade DE (aber noch nicht die Punkte D und E). Wählen Sie nun irgendeinen Punkt C und ziehen die Geraden AC und BC; dabei entstehen die neuen Schnittpunkte D und E. Zeichnen Sie dann die Diagonalen AE und BD mit dem Schnittpunkt F. CF liefert das gesuchte Ergebnis G.
Wieso?
Im Trapez ABED ist HJ die durch den Diagonalenschnittpunkt F gehende Parallele zu AB und zu DE. (HJ kann man zwar mit dem Lineal allein nicht zeichnen, aber trotzdem mit Erfolg darüber nachdenken.) Ihre Teile HF und FJ stehen im gleichen Verhältnis zu AB (oder auch zu DE), sind also einander gleich (Strahlensatz von D bzw. E aus). Mit dem Strahlensatz (von C aus) folgt nun ebenso, dass auch AG und GB einander gleich sind.
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