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Hemmes mathematische Rätsel: Tag und Woche

Wie oft kann es in einem Jahr höchstens vorkommen, dass die Nummer der Kalenderwoche gleich der Tageszahl ist, mit der die Woche beginnt?
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In dem Bild sieht man ein Kalenderblatt von Februar 2017. Die erste Spalte des Blattes zeigt die Nummern der Kalenderwochen und die zweite Spalte die Tageszahlen der Montage. Dabei fällt auf, dass zwei Sechsen direkt nebeneinander stehen: Die Kalenderwoche 6 beginnt mit der Tageszahl 6.

2017 fragte sich Dirk Wißmann aus Würselen: Wie oft kann es in einem Jahr höchstens vorkommen, dass die Nummer der Kalenderwoche gleich der Tageszahl ist, mit der die Woche beginnt?

Fällt der Neujahrstag auf einen Montag, so beginnt die erste Kalenderwoche dieses Jahres am 1. Januar. Jede Woche erhöht die Tageszahl um 7 und die Kalenderwochenzahl um 1. Der Unterschied zwischen Tageszahl und Kalenderwochenzahl wächst also von Woche zu Woche um 6. Wird jedoch ein neuer Monat erreicht, beginnt die Tageszahl wieder mit 1, während die Kalenderwochenzahl weitergezählt wird. Jeder Monat ist ungefähr 30 Tage lang. Nehmen wir zunächst einmal der Einfachheit halber an, er habe genau 30 Tage. Dann schrumpft der Unterschied zwischen der Tageszahl und der Kalenderwochenzahl beim Monatswechsel um 30/6 = 5 Tage. Folglich stimmt alle fünf Wochen die Tageszahl mit der Kalenderwochenzahl überein. Dies wäre dann der Fall am 1.1., am 6.2., am 11.3., am 16.4., am 21.5., am 26.6. und am 31.7. Danach kann es zu keinen Übereinstimmungen mehr kommen, da kein Monat mehr als 31 Tage besitzt.

Nun hat aber nicht jeder Monat genau 30 Tage. Das hat zur Folge, dass nicht jeder dieser sieben Tage auf einen Montag fällt. Ein Jahr kann mit sieben verschiedenen Wochentagen beginnen und ein Gemeinjahr oder ein Schaltjahr sein. Somit gibt es vierzehn verschiedene Jahresarten. Untersucht man sie systematisch, bleiben für die folgenden sechs Jahresarten nur eine, zwei oder drei Übereinstimmungen übrig.

1.1. = Mo, Gemeinjahr: 1. Jan., 16. Apr., 21. Mai
1.1. = Mo, Schaltjahr: 1. Jan., 11. Mär.
1.1. = Di, Gemeinjahr: 11. Mär.
1.1. = Sa, Schaltjahr: 26. Jun., 31. Jul.
1.1. = So, Gemeinjahr: 6. Feb., 26. Jun., 31. Jul.
1.1. = So, Schaltjahr: 6. Feb., 16. Apr., 21. Mai

In den anderen acht Arten von Jahren gibt es keine einzige Übereinstimmung der Kalenderwochenzahl mit der Tageszahl, mit der die Woche beginnt. Folglich kann ein Jahr höchstens drei solcher Übereinstimmungen besitzen.

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