Kreuzen Sie in einer Liste der \(n\) und der \(f_n\) die durch 2, 3, 5, 8 usw. teilbaren Zahlen in getrennten Spalten an (für jeden Teiler eine Spalte).

Diese Tabelle zeigt, dass \(f_n\) durch \(f_k\) teilbar ist, wenn \(n\) durch \(k\) teilbar ist, jedenfalls für den dargestellten Teil der unendlich vielen Zahlen.

So ist z. B. jede 7. Fibonacci-Zahl durch 13, also durch die 7. Fibonacci-Zahl teilbar.

Aber auch der Beweis für alle ist sehr einfach:

Es sei irgendeine Fibonacci-Zahl durch eine natürliche Zahl \(n\) teilbar und als \(a \cdot n\) geschrieben, ihre unmittelbare Nachfolgerin sei \(b\). Dann ist ihre \(k\)-te Nachfolgerin \(a\cdot n \cdot f_{k-1} + b \cdot f_k\), wie ziemlich leicht zu sehen ist. (Beweisen Sie die allgemeine Formel \(f_{i+k}=f_i f_{k-1} + f_{i+1}f_k\) durch Induktion über \(k\).) Diese Summe ist durch \(n\) teilbar, wenn \(f_k = n\) ist. Wir finden also \(k\) Schritte in der Folge später wieder eine durch \(n=f_k\) teilbare Zahl. Wenn wir nun noch daran denken, dass \(f_0 = 0\) ebenso wie ihre Nummer 0 durch alle natürlichen Zahlen ohne Rest teilbar sind, haben wir die Behauptung.