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Torus anmalen

Treitz-Rätsel

Für eine Landkarte auf der Kugel (Erde) oder in der Ebene braucht man nur 4 Farben, wenn man alle (linien-, nicht punktweise) aneinander grenzenden Länder unterscheiden soll (Enklaven und Exklaven zählen als eigene Länder). Das hat man schon lange vermutet und erst 1976 (mit Computerhilfe) bewiesen.

Auf einem Torus (der mathematischen Verallgemeinerung oder Idealisierung des Rettungsrings oder Fahrradschlauchs) gibt es 7 Länder. Denken Sie sich diese flache Karte so entstanden, dass die Torusoberfläche durch zwei kreisförmige Schnitte geöffnet und dann mit etwas Verzerrung zu einem flachen Rechteck geplättet wurde. Die Linien ABA und ACA an den Rändern gibt es also auf dem Torus jeweils nur einmal, sogar der Punkt A ist nur einmal vorhanden (hier trafen sich die beiden Schnitte).

Alles, was Sie außerhalb des strichpunktierten Rechtecks sehen, ist nur zur Orientierung doppelt bis vierfach eingezeichnet, so wie auf manchen Erdkarten ganz Amerika doppelt zu sehen ist, damit alle Ozeane und alle Kontinente unzerschnitten betrachtet werden können.

Färben Sie nun bitte die 7 Länder mit möglichst wenigen Farben.

Wenn Sie mit weniger als 7 Farben auskommen, haben Sie etwas falsch gemacht. Es sind wirklich genau 7 Länder auf der Karte, und jedes grenzt an jedes andere.

Was hier nicht bewiesen wird: Es gibt auf dem Torus keine Karten, die mehr als 7 Farben brauchen. Wir haben nur gesehen, dass es auf ihm mindestens eine Karte gibt, die nicht mit weniger auskommt.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

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