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Torus aus gleichmäßigen Polygonen

Donut mit Augen

Die Idee ist: Das Ding soll "im Prinzip" so aussehen wie ein Donut. Aber es soll von lauter regelmäßigen Vielecken begrenzt sein. Die müssen nicht unbedingt von derselben Sorte sein; aber eine einheitliche Kantenlänge müssen sie haben.

Um die Topologie eines Torus zu besitzen, muss das Polyeder:

1. genau einen durchgängigen Kanal besitzen

2. und daher die Euler-Charakteristik (Ecken + Flächen – Kanten) null haben.

Denken Sie sich einen kleinen Würfel, der in einem größeren Würfelstumpf steckt. Bauen Sie anschließend einen Kanal hindurch, bei dem vom Stumpf des großen Würfels zwei Achtecke und vom inneren Würfel zwei dazu parallele Quadrate verschwinden.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Die Gerade deutet einen Weg durch den hohlen Teil des Polyeders an, den man sich im übrigen ausgefüllt vorstellen kann.

Das Polyeder hat die Topologie eines Torus, also das topologische Geschlecht 1, das heißt genau einen durchgehenden Kanal. Daher muss es den Euler-Charakter 0 haben. Zählen wir nach: 32 Flächen (nämlich 4 Achtecke, 12 Quadrate und 16 Dreiecke), 32 Ecken und 64 Kanten, es stimmt also.

Dieses Polyeder ist bei weitem nicht die einzige Lösung der Aufgabe. Man kann sogar torusförmige Polyeder allein aus gleichseitigen Dreiecken zusammenbauen. Dazu setzt man zum Beispiel acht Oktaeder oder acht Ikosaeder Fläche auf Fläche zu einem rautenförmigen Gebilde zusammen, wobei natürlich die Flächen, an denen sich die Körper berühren, weggelassen werden. Es geht auch mit zwölf Ikosaedern, von deren jedem man zweimal fünf Dreiecke weglässt. Einzelheiten finden Sie hier.

Damit nicht genug: Ein Mathematiker namens Bonnie Stewart hat Jahrzehnte seines Lebens der Erforschung der "Toroide" (Hohl-Polyeder) gewidmet, mit einem Loch oder ganz vielen. Einzelheiten hier

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