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Trapez-Mittelwerte

Treitz-RätselLaden...

Bekanntlich ist die Länge der Mittel-Parallelen im Trapez das arithmetische Mittel der Längen der zueinander parallelen Seiten. Wie lang ist aber die Parallele durch den Schnittpunkt der Diagonalen?

Strahlensätze.

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Die gesuchte Länge ist das harmonische Mittel \(h = {\displaystyle 2ac\over \displaystyle a + c}\) der zueinander parallelen Seiten \(a\) und \(c\), also der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte. Der Beweis benutzt zweimal den Strahlensatz, die Tönungen im Bild deuten an, wie.

Man kann das Bild übrigens auch als zentralperspektivisches Bild eines Quadrates mit Diagonalen und Mittelparallelen deuten, diese Abbildung ist aber nicht affin wie ihr Grenzfall Parallelperspektive. Also darf man auch nicht schließen, dass im Trapez die Mittelparallele durch den Schnittpunkt der Diagonalen verlaufe!

Das Wort Trapez bedeutet ursprünglich "Tisch", und Tische sind meistens Rechtecke, ihre affinen Bilder sind dann Parallelogramme, aber ihre zentralperspektivischen Bilder müssen keine Trapeze sein, außer wenn man im rechten Winkel auf ein Kantenpaar sieht.

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