Hemmes mathematische Rätsel: Trompeten und Posaunen
Im Sommersemester 2011/12 schrieben an der Universität Köln 305 Lehramtsstudenten eine Klausur in dem Fach »Einführung in die Mathematik«. Nur 22 Studenten bestanden diese Klausur und 283 fielen durch. Die Studenten empfanden die Klausur als »hammerhart« und protestierten erfolgreich dagegen. Wer wollte, so beschloss die Universität, konnte die Klausur wiederholen. Doch auch beim zweiten Versuch bestanden nur 100 Studenten die Klausur. Das folgende Problem ist eine der »hammerharten« Aufgaben der ersten Klausur.
Eine Blaskapelle erhält 10 000 Euro, um Trompeten und Posaunen anzuschaffen. In der gewünschten Qualität kosten eine Trompete 1050 Euro und eine Posaune 1200 Euro. Welches ist der höchste Betrag, der ausgegeben werden kann, und wie viele Instrumente beider Arten können für diesen Höchstbetrag angeschafft werden?
Bezeichnet man die Anzahl der gekauften Trompeten mit m und die der Posaunen mit n, beträgt der Gesamtpreis der Instrumente (1050m + 1200n) Euro. Aus dieser Summe kann man die Zahl 150 ausklammern und man erhält 150(7m + 8n).
Der zur Verfügung stehende Betrag von 10 000 Euro ist aber kein Vielfaches von 150. Der größte durch 150 teilbare Betrag unter 10 000 Euro beträgt 9900 Euro. Wird dieser Betrag für die Instrumente ausgegeben, gilt 1050m + 1200n = 9900. Teilt man beide Seiten der Gleichung durch 150, vereinfacht sie sich zu 7m + 8n = 66.
Nach m aufgelöst wird daraus m = (66 − 8n)⁄7. Der Zähler muss durch 7 teilbar sein. Durch systematisches Probieren findet man schnell, dass dies nur für n = 3 möglich ist. Daraus ergibt sich m = 6. Es können also höchstens 9900 Euro ausgegeben und dafür sechs Trompeten und drei Posaunen gekauft werden.
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