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Hemmes mathematische Rätsel: Überdeckungen

Mit einem Quadrat von 6 cm Seitenlänge kann man maximal 3/5 der Fläche eines bestimmten Dreiecks abdecken. Umgekehrt lässt sich mit diesem Dreieck das Quadrat höchstens zu 2/3 abdecken. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks?
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In der kanadische Provinz British Columbia, die im Westen des Staates an den Pazifik grenzt, finden jedes Jahr Mathematikwettbewerbe für Schüler verschiedener Altersgruppen und unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades statt. Das heutige Rätsel stammt vom »British Columbia Colleges Senior High School Contest« des Jahres 2000.

Mit einem Quadrat von 6 cm Seitenlänge kann man maximal 3/5 der Fläche eines bestimmten Dreiecks abdecken. Umgekehrt lässt sich mit diesem Dreieck das Quadrat höchstens zu 2/3 abdecken. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks? Über die Form des Dreiecks ist übrigens nichts bekannt. Es kann gleichseitig, gleichschenklig oder völlig unregelmäßig sein.

Zuerst wird Quadrat so auf das Dreieck gelegt, dass es eine möglichst große Fläche des Dreiecks abgedeckt. Danach wird umgekehrt das Dreieck so auf das Quadrat gelegt, dass es eine möglichst große Fläche des Quadrats abdeckt.

In beiden Fällen sind diese Maximalflächen gleich, denn man braucht ja nur die Anordnung der beiden Figuren umzuklappen, damit aus der ersten die zweite wird. Hat das Dreieck den Flächeninhalt A, so gilt 3/5 • A = 2/3 • 36 cm2. Dies lässt sich zu A = 5/3 • 2/3 • 36 cm2 = 40 cm2 umformen.

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