Winkelbilanz.

Das orangefarbene Viereck aus den Winkelhalbierenden enthält gegenüberliegende Paare von Winkeln, die sich zu jeweils zu 180° ergänzen. Aber warum?

Das erkennt man aus der Winkelbilanz der eingetragenen Dreiecke: Die zwei gegenüberliegenden Winkel des orangefarbenen Vierecks haben die Winkel \(180°-\alpha-\beta\) und \(180°-\gamma-\beta\). Deren Summe beträgt \(360°-\alpha-\beta-\gamma-\delta\).

Die Winkelsumme jedes Vierecks beträgt 360°, demnach gilt für das ursprüngliche grüne Viereck: \(2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360°\). Daraus folgt \(\alpha+\beta+\gamma+\delta=180°\), und damit beträgt auch die Summe der genannten gegenüberliegenden Winkel 180°. Den beiden anderen Winkeln bleibt dann nichts übrig, als sich ebenfalls zu 180° zu ergänzen. Also ist das orangefarbene Viereck ein Sehnenviereck und hat als solches einen Umkreis.

Honsberger bringt dies im Kapitel über Vierecke in seinen "Episoden".