1. Antwort

Für ungerade magische Quadrate seien hier zwei Rezepte gegeben, bei denen nur unklar ist, welches noch einfacher ist als das andere.

Von Bachet de Méziriac stammt dieses (hier für n = 9 gezeigt):

Man schreibt also die Zahlen in die diagonalen Reihen über das Quadrat hinaus und schiebt die überstehenden Teile dann bis an den gegenüber liegenden Rand nach innen.

1693 oder kurz vorher berichtete Simon de la Loubère über ein Verfahren aus Siam (heute Thailand), das etwas abgewandelt (und mit n = 7) so geht:

Man schreibt in eine Diagonale überall (n+1)/2, also hier 4. In die dazu parallelen Linien kommen dann schrittweise die anderen Zahlen von 1 bis n:

Dieses Quadrat hat schon einmal in beiden Diagonalen und allen Spalten und Zeilen die Summe n(n+1)/2 = 28, besteht aber leider noch nicht aus n² = 49, sondern nur aus n = 7 verschiedenen Zahlen.

Das gilt auch für ein Quadrat, das wir ähnlich, aber jetzt von der anderen Diagonale ausgehend mit den Vielfachen von n von 0 bis n(n-1), also 0 bis 42 füllen, so dass in der Mitte n(n-1)/2 = 21 steht.

Wenn wir nun beide kästchenweise addieren, so bleiben die Additionseigenschaften erhalten, aber alle Kästchen bekommen nun verschiedene Zahlen, und zwar von 1 bis n² = 49:

Man sieht dem Ergebnis kaum ein Rezept an, es sei denn, man nimmt überall 1 weniger (also von 0 bis n²–1) und schreibt die Zahlen im Ziffernsystem zur Basis n (also hier im Siebener-System):

Ungerade magische Quadrate sind also ziemlich einfach zu finden. Für n = 5 gibt es über 13 Millionen, vermutlich sind sie aber nicht alle ebenso einfach zu finden.

Wenn Ihnen das alles zu einfach ist, versuchen Sie es mit magischen Quadraten aus aufeinanderfolgenden Primzahlen oder mit solchen, in denen man auch jede Zahl quadrieren kann und dabei wieder ein magisches Quadrat bekommt. Diese hören auf den schlichten Namen "doppeltes magisches Quadrat". 1934 hat ein Herr Cazalas ein dreifaches (Sie vermuten richtig, was damit gemeint ist) der Spaltenzahl 64 gefunden.

Oder nehmen Sie für die Zahlen die Hälften von Dominosteinen die [gemeint sind die ganzen Steine, nicht ihre Hälften] Sie aber nicht zersägen dürfen, oder gehen Sie in die 3. Dimension und bauen magische Würfel.

Nun soll speziell der einfachste Fall näher angesehen werden, nämlich das gewöhnliche magische Quadrat mit 3 Zeilen und 3 Spalten (und 2 Diagonalen).

2. Antwort

In diesem Quadrat hat jede Zeile, jede Spalte und jede (echte) Diagonale die Summe 3a. Falls a, b und c positiv sind, liefern die Formeln für den Fall, dass b und c sich mindestens um 3 unterscheiden, 9 verschiedene Zahlen.

Will man die Zahlen von 1 bis 9 haben, wählt man a = 5, b = 3 und c = 1. Vertauschung von b und c oder Wechsel ihrer Vorzeichen bewirken die möglichen Spiegelungen des Quadrates. Abgesehen von diesen ist die Lösung die einzige für die Zahlen von 1 bis 9.

Kommentar

von gernhauer, per E-Mail

Es gibt noch eine weitere einfache Methode zur Herstellung ungerader magischer Quadrate der Ordnung R:
(1) Man fängt an einer beliebigen Stelle (z, s) mit der 1 an.
(2) Danach geht man immer diagonal (z. B.) nach oben rechts weiter (z+1, s+1).
(3) Sobald man das Feld auf einer Seite verlässt, taucht man auf der anderen Seite wieder auf (z+1 mod R, s+1 mod R).
(4) Ist das Feld, auf das man möchte, bereits besetzt, so geht man auf das Feld direkt darunter (z,s+1).

Die Schritte (2) bis (4) werden solange wiederholt, bis das Quadrat voll ist.

Kommentar zum Kommentar

von Christoph Pöppe, Redaktion

Das stimmt fast! Das beschriebene Verfahren macht alle Zeilen und Spalten richtig, nicht aber die Diagonalen. Um die auch noch korrekt zu machen, ist eine Zusatzbedingung zu erfüllen, zum Beispiel "die 1 in Zeile 1, Spalte (R+1)/2" (genau in die Mitte).

Bedingung 4 ist modifizierbar. Statt nach (z, s+1) kann man zum Beispiel auch nach (z+2, s) wandern, muss dann allerdings mit der 1 woanders anfangen. So modifiziert reproduziert das Verfahren das erste Beispiel (nach Bachet de Méziriac).

Merkwürdigerweise habe ich das von gernhauer beschriebene Verfahren unter dem Namen Simon de la Loubère kennengelernt.

Eine sehr ausführliche Beschreibung magischer Quadrate (ungerader und gerader Ordnung) findet sich in: Heinz Haber (Hg.): Das mathematische Kabinett. Eine Auslese. dva, Stuttgart 1967.