Ungerade Quadratzahlen
Albrecht Beutelspacher zitiert in seinem (keineswegs autobiografischen, aber die Meinungen von Nicht-Mathematikern auf unterhaltsame Art ernst nehmenden) Buch "In Mathe war ich immer schlecht" den Erforscher der Zahlenmystik Erich Bischoff (1920):
"Ich wenigstens kenne keine voll befriedigende Erklärung dafür, warum jede ungerade Zahl (von 3 ab), mit sich selbst multipliziert, stets ein Vielfaches von 8 mit 1 als Rest ergibt"
Nun ist das Wort "Erklärung" in der Mathematik ebenso wolkig wie in den Naturwissenschaften. Kann man erklären, warum 2 + 2 das Gleiche ist wie 2 mal 2? Immerhin kann man es beweisen und vielleicht auch in dem Sinne "einsehen", dass man meint, es könne auch nicht anders sein.
Visueller Beweis
Wir wollen einsehen, dass jede ungerade Quadratzahl bei Division durch 8 den Rest 1 hat.
Das weiße Quadrat besteht aus einer ungeraden Zahl von Kästchen (hier sind 7 mal 7 zu sehen). Erhöhen wir die Seitenlängen um 2, also zur nächsten ungeraden Zahl, so können wir einfach einen Bilderrahmen rundherum malen. Wenn wir jedes Eck-Kästchen nur einmal zählen, kommen genau 4-mal eine gerade Zahl von Kästchen hinzu, also eine durch 8 teilbare Anzahl. Bei dem kleinsten ungeraden Quadrat ist der Rest 1, also (nun) auch bei jedem größeren.
Ob Bischoff diesen Beweis gekannt hat?
Induktiver Beweis
Die Behauptung ist, dass für jedes ganze n > 0 der Ausdruck (2n + 1)2 – 1 durch 8 teilbar ist.
Ausmultiplizieren gibt: 4n2 + 4n. Das ist (für ganze n) sicher durch 4 teilbar, aber auch immer durch 8?
So einfach geht es also nicht.
Aber sicher ist es für n = 1 richtig: 32 = 9 hat beim Teilen durch 8 den Rest 1. Damit haben wir schon einmal einen Fall, der zutrifft (Induktions-Verankerung).
Wenn es nun für irgend ein natürliches n (nämlich die 1 oder aber irgend eine größere ganze Zahl) zutrifft, was passiert dann, wenn wir n um 1 auf n+1 erhöhen?
Dazu bilden wir (2(n+1) + 1)2 – (2n + 1)2 (die Subtraktion der 1 fällt dabei heraus). Das ist (2n + 3)2 – (2n + 1)2 = 4n2 + 12n + 9 – 4n2 – 4n – 1 = 8n + 8. Und das ist nun sicher durch 8 teilbar. Wenn wir also zu einer durch 8 teilbaren Zahl diese durch 8 teilbare addieren, ist die Summe auch wieder durch 8 teilbar.
Algebraischer Beweis
Die Zahl 4n2 + 4n ist stets durch 8 teilbar. Das sieht man, wenn man sie als 4n(n + 1) schreibt. Das Produkt n(n + 1) ist stets durch 2 teilbar, denn entweder n oder n + 1 ist gerade. Das mal 4 ergibt eine Zahl, die durch 8 teilbar ist.
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