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Hemmes mathematische Rätsel: Ungerechte Löhne

20 Menschen – Männer, Frauen und Kinder – arbeiten einen Tag lang. Am Abend bekommen sie insgesamt 20 Silberstücke, wovon jeder Mann drei, jede Frau anderthalb und jedes Kind ein halbes Silberstück erhält. Wie viele Männer, Frauen und Kinder haben gearbeitet?
Zeit ist Geld

1881 wurde in der Nähe des Dorfes Bakhshali im Nordwesten Pakistans ein 70-seitiges, unvollständiges, auf Birkenrinde geschriebenes Mathematikmanuskript gefunden, das als Bakhshali-Manuskript bezeichnet wird. Es wird in der Bodleiana, der Hauptbibliothek der Universität Oxford, aufbewahrt. Der Text wurde in Gatha-Sprache geschrieben, die eine Kombination aus Sanskrit und Pakrit ist. Er wurde aus einem älteren, verschollenen Manuskript abgeschrieben, dessen Alter unbekannt ist. Wahrscheinlich stammt es aus der Zeit vom zweiten vorchristlichen bis zum zweiten nachchristlichen Jahrhundert. In einem Kapitel findet man am Ende die Bemerkung, dass es vom Sohn des Chajaka, einem Brahmanen und König der Mathematiker, geschrieben wurde. Das Manuskript ist ein Handbuch, in dem mathematische Gesetze und dazugehörige Beispiele beschrieben werden. Es befasst sich in erste Linie mit Arithmetik und Algebra und nur am Rande mit Geometrie und Metrologie. Eine der Aufgaben handelt von einem ungerechten Lohnsystem, das bedauerlicherweise auch noch im heutigen Deutschland verbreitet ist.

20 Menschen – Männer, Frauen und Kinder – arbeiten gemeinsam einen Tag lang. Am Abend bekommen sie insgesamt 20 Silberstücke, wovon jeder Mann drei Silberstücke, jede Frau anderthalb Silberstücke und jedes Kind ein halbes Silberstück erhält. Wie viele Männer, Frauen und Kinder haben gearbeitet? In der Gruppe sind mindestens ein Mann, mindestens eine Frau und mindestens ein Kind.

Bezeichnet man in die Zahl der Männer der 20-köpfigen Arbeitsgruppe mit M, die der Frauen mit F und die der Kinder mit K, kann man die Personengleichung M + F + K = 20 aufstellen.

Von den 20 Silberstücken erhält jeder Mann drei, jede Frau anderthalb und jedes Kind ein halbes. Dies führt zur Lohngleichung 3M + 32F + 12K = 20, die sich zu 6M + 3F + K = 40 umformen lässt. Stellt man die Personengleichung nach K um, erhält man K = 20 − M − F. Dies wird in die Lohngleichung eingesetzt und man bekommt 6M + 3F + 20 − M − F.

Nach F aufgelöst ergibt die Gleichung F = 10 − 52M. Da M und F positive ganze Zahlen sein müssen, hat die Gleichung als einzige Lösung M = 2 und F = 5. Dies führt zu K = 13. Die Arbeitsgruppe bestand also aus zwei Männern, fünf Frauen und dreizehn Kindern.

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