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Hemmes mathematische Rätsel: Ungewöhnliche Geburtstage

Wie wahrscheinlich ist es, dass 4 Menschen in 4 aufeinander folgenden Monaten eines Jahres Geburtstag haben und dass der Geburtstag jeweils mit der Monatszahl übereinstimmt?
Autounfall

In der »Bangkok Post« erschien im Sommer des Jahres 2008 ein kurzer Bericht über einen kuriosen Verkehrsunfall. Am 12. August 2008 krachten in Taiwan zwei Autos zusammen. Glücklicherweise entstanden nur Blechschäden, aber die vier Fahrzeuginsassen mussten zur Polizeiwache. Dort stellte die Polizei verblüfft fest, dass einer der vier Insassen am 6.6., der zweite am 7.7., der dritte am 8.8. und der vierte am 9.9. Geburtstag hatte. Die Polizisten hatten, so wie auch sehr viele Chinesen, eine Manie für Glücks- und Unglückszahlen, hielten diese auffällige Geburtstagsfolge für ein Zeichen des Himmels und ließen alle Unfallbeteiligten ohne irgendeine Verwarnung laufen.

Als Otto Spaniol von der RWTH Aachen diesen Zeitungsbericht las, stellte er sich folgende Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass vier beliebige Menschen in vier aufeinander folgenden Monaten eines einzigen Jahres Geburtstag haben und dass der Geburtstag jeweils mit der Monatszahl übereinstimmt? Dabei darf man annehmen, dass sich die Geburtstage gleichmäßig über das Jahr verteilen, und dass Geburtstage für verschiedene Menschen unabhängig voneinander sind. Schalttage sollen vernachlässigt werden.

Pro Jahr gibt es neun mögliche Geburtstagskombinationen dieser Art, nämlich (1.1., 2.2., 3.3., 4.4.), (2.2., 3.3., 4.4., 5.5.), ..., (9.9., 10.10., 11.11., 12.12.). Alle neun sind gleichartig. Deshalb braucht man nur eines davon zu betrachten und das Ergebnis dann mit 9 zu multiplizieren.

Untersuchen wir also den ersten dieser neun Fälle. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand am 1. Januar Geburtstag hat, ist 1/365. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweiter Mensch am 2. Februar Geburtstag hat, beträgt ebenfalls 1/365. Auch die Wahrscheinlichkeiten, dass ein dritter Mensch am 3. März und dass ein vierter am 4. April Geburtstag feiern, haben diesen Wert. Die Gesamtwahrscheinlichkeit hierfür ist also 1/365 · 1/365 · 1/365 · 1/365 = 1/3654.

Bezeichnen wir nun die vier Beteiligten mit A, B, C und D. Es spielt für dieses Problem keine Rolle, ob die vier Personen in der Reihenfolge ABCD oder ABDC oder ACBD usw. Geburtstag haben. Insgesamt gibt es 24 verschiedene Reihenfolgen, die alle vorkommen können. Darum muss man das Ergebnis noch mit 24 malnehmen. Folglich beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit 9 · 24 · 1/3654 ≈ 0,0000012 Prozent.

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