Hemmes mathematische Rätsel: Unter welchen Bedingungen beträgt die Wahrscheinlichkeit 50 Prozent?
In einer Schublade liegt eine ungerade Zahl blauer und eine gerade Zahl schwarzer Socken. Wie viele blaue und wie viele schwarze Socken müssen mindestens in der Schublade liegen, damit die Wahrscheinlichkeit, daraus im Dunkeln ein Paar blaue Socken zu nehmen, genau 50 Prozent beträgt?
Ist B die Zahl der blauen und S die der schwarzen Socken, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine blaue Socke aus der Lade zu ziehen, B/(B + S) und die, danach noch eine blaue Socke zu ziehen, (B – 1)/(B – 1+ S). Die Wahrscheinlichkeit, nacheinander zwei blaue Socken zu ziehen, soll 50 Prozent betragen. Darum gilt B/(B + S) · (B – 1)/(B – 1+ S) = 1/2. Da B ungerade und S gerade ist, lassen sich die beiden Zahlen auch als B = 2b + 1 und S = 2s schreiben, wobei b und s die Werte 0, 1, 2, 3 … haben können. Setzt man dies in die Gleichung, erhält man daraus nach einigen Umformungen die quadratische Gleichung b2 – (2s – 1/2)b – s2 – 1/2s = 0. Ihre positive Lösung ist b = s – 1/4 + 1/4 · √(32s2 + 1). Das kleinste s, das zu einer Quadratzahl unter der Wurzel führt, ist s = 3. Es ergibt b = 7. Somit liegen B = 15 blaue und S = 6 schwarze Socken in der Schublade.
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