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Hemmes mathematische Rätsel: Verkauf der Eier

Können Sie dieses von Leonhard Euler erdachte Rätsel lösen?
Eier

Einer der größten Mathematiker der Welt war Leonhard Euler. Er wurde 1707 in Basel geboren und studierte Mathematik, Theologie, Medizin und orientalische Sprachen. Im Alter von zwanzig Jahren zog er nach St. Petersburg, wo er 1730 eine Professur für Physik und 1733 eine für Mathematik erhielt. 1741 wurde er von Friedrich dem Großen an die Berliner Akademie berufen, wo er 25 Jahre lang lehrte. 1766 zog er wieder nach St. Petersburg. Eulers Arbeiten über die Analysis des Unendlichen, die Variations- und Differenzenrechnung, die analytische Zahlentheorie und die Differentialgeometrie waren bahnbrechend, und er gilt als einer der Begründer der Strömungslehre. Euler starb am 18. September 1783.

Euler war sehr produktiv und verfasste 866 wissenschaftliche Publikationen. Sein erfolgreichstes Buch trägt den Titel »Vollständige Anleitung zur Algebra« und erschien zuerst 1767/1768 in Russisch, bevor 1770 die deutsche Ausgabe herauskam. Die Legende sagt, dass Euler das Buch blind verfasst und einem unbedarften Schneidergesellen diktiert habe. Euler war aber erst im Jahre 1771 nach einer Staroperation vollständig erblindet. Aus diesem Buch stammt das folgende Problem:

Zwei Bäuerinnen tragen zusammen 100 Eier auf den Markt, eine mehr als die andere, und doch erzielen beide gleich viel Geld. Nun sagt die erste zu der anderen: »Hätte ich auch deine Eier gehabt, so hätte ich 15 Kreuzer mehr eingenommen.« Darauf antwortet die andere: »Hätte ich auch deine Eier gehabt, so hätte ich 623 Kreuzer zusätzlich eingenommen.« Wie viele Eier hat jede der beiden Bäuerinnen gehabt?

Die eine Bäuerin verkauft A Eier zum Preis von a Kreuzer pro Ei und die andere B Eier zum Preis von b Kreuzer pro Ei. Zusammen haben sie laut Aufgabe 100 Eier, und beide bekommen gleich viel Geld für ihre Eier. Daraus ergeben sich die Gleichungen A + B = 100 und Aa = Bb. Die Behauptung der ersten Bäuerin, sie hätte 15 Kreuzer mehr eingenommen, wenn sie die Eier der zweiten Bäuerin auch gehabt hätte, lässt sich durch die Gleichung Ba = 15 wiedergeben. Entsprechend bedeutet die Erwiderung der zweiten Bäuerin Ab = 203.

p>Löst man die beiden letzten Gleichungen nach a und b auf und setzt sie in die zweite Gleichung ein, erhält man 20B/(3A) = 15A/B, woraus nach einigen Umformungen 2B = 3A wird. Dies wird in die erste Gleichung eingesetzt, die man vorher aber zu 2B + 2A = 200 umgeformt hat. Somit wird daraus 3A + 2A = 200 oder A = 40. Daraus folgt nun sofort B = 60. Die erste Bäuerin trug also 60 und die zweite 40 Eier zum Markt.

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