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Hemmes mathematische Rätsel: Vier Buntstifte

Ist der Gummiring links oder rechts gespannter?
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Der »National Council of Teachers of Mathematics«, ein Verband amerikanischer Mathematiklehrer, gibt seit über hundert Jahren monatlich die Zeitschrift »The Mathematics Teacher« heraus. Das mittlere Doppelblatt jedes Heftes lässt sich herausnehmen und ist ein Kalender, der für jeden Tag des Monats eine mathematische Denksportaufgabe enthält. Vom Dezemberkalender des Jahres 1999 stammt folgendes Problem:

Ein Maler hat vier Buntstifte, die den gleichen Durchmesser haben, mit einem Gummiring, so wie es die linke Skizze zeigt, zusammengebunden und in seine Tasche gesteckt. Als er die Stifte wieder hervorholt, haben sie sich etwas gegeneinander verschoben und werden jetzt von dem Gummiring so zusammengehalten, wie es in der rechten Skizze zu sehen ist. Hat sich der Gummiring dabei gedehnt oder zusammengezogen?

Verbindet man die Mittelpunkte der Kreise miteinander, kann man die Lösung leicht erkennen. In beiden Anordnungen der Buntstifte sind die Strecken, die der Gummiring zwischen jeweils zwei Stiften frei gespannt ist, immer einen Stiftdurchmesser d lang. Die vier Abschnitte, in denen der Gummiring sich an die Stifte schmiegt, ergeben sowohl in der linken als auch in der rechten Skizze jeweils zusammen einen Kreis. Folglich hat der Gummiring in beiden Anordnungen eine Länge von (4 + π)d.

Vier Buntstifte

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