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Viereck zwischen Kreisen

Treitz-Rätsel

Gibt es außer dem Quadrat noch andere Vierecke, die zugleich einen Inkreis und einen Umkreis haben (anders gesagt: die zugleich Sehnen- und Tangentenvierecke sind)? Können Sie einfache Konstruktionsanweisungen geben? Oder können Sie zeigen, dass es keine gibt?

Zwei symmetrische Möglichkeiten lassen sich leicht aus Dreiecken herleiten:

Jedes Drachenviereck hat einen Inkreis, und wenn es auch noch zwei rechte Winkel hat, kann man um die beiden gleichen Teile einzeln den Thaleskreis zeichnen.

Ebenfalls symmetrisch ist das gleichschenklige Trapez, das immer einen Umkreis hat. Man nehme ein gleichschenkliges Dreieck, das (wie jedes andere Dreieck auch) einen Inkreis hat, und zeichne die Tangente zum Inkreis, die parallel zur Grundseite ist. Damit haben wir ein Trapez, das auch einen Inkreis und zugleich einen Umkreis hat.

Es gilt ein allgemeinerer Satz, nach dem man zu je zwei Radien von in einander liegenden (sich nicht berührenden) Kreisen einen Abstand der Mittelpunkte berechnen kann mit der Eigenschaft, dass alle Tangenten-Vierecke des inneren Kreises Sehnen-Vierecke des äußeren sind (und umgekehrt alle Sehnen-Vierecke des äußeren Tangenten-Vierecke des inneren). In diesem Bild sind auch unsere beiden Vierecke wieder zu sehen:

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