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Hemmes mathematische Rätsel: Wanderungen um den See

Zwei Männer umrunden entgegengesetzt mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einen See. Können Sie ermitteln, nach wie vielen Tagen sie sich wieder begegnen?
Gut getarnter Jäger auf Beutesuche am Seeufer

Dschamschid ibn Masud Ghiyathaddin al-Kaschi wurde um 1380 in Kaschan geboren und starb 1429 in Samarkand im heutigen Usbekistan. In jungen Jahren verdiente er sich seinen Lebensunterhalt als Arzt und studierte nebenbei Mathematik und Astronomie. Später arbeitete er als Mathematiker und Astronom in Samarkand und war der erste Vorsteher der Sternwarte von Ulugh Beg. In seinem Buch »Der Schlüssel der Arithmetik; Traktat über den Kreis« findet man auch Aufgaben zur Unterhaltungsmathematik.

Zwei Männer wandern um einen See. Sie gehen gleichzeitig am selben Ort los, aber in entgegengesetzte Richtungen. Der erste Mann geht immer gleich schnell und legt jeden Tag zehn Meilen zurück. Der zweite Mann wandert am ersten Tag nur eine Meile weit, am zweiten Tag schafft er zwei Meilen, am dritten drei, am vierten vier und so weiter. Er geht also jeden Tag eine Meile mehr als am Vortag. Als sich die beiden Männer treffen, hat der erste Mann ein Sechstel des Seeumfangs zurückgelegt. Wie viele Tage nach dem Abmarsch findet diese Begegnung statt?

Der erste Mann wandert mit einer Geschwindigkeit 10 Meilen pro Tag und legt in n Tagen ein Sechstel des Seeumfangs U zurück. Dies lässt sich durch die Gleichung U/6 = 10n beschreiben.

Der zweite Mann umrundet den See in n Tagen zu fünf Sechsteln. Seine Geschwindigkeit beträgt am ersten Tag 1 Meile pro Tag, am zweiten 2 Meilen pro Tag, am dritten 3 und so weiter. Es gilt also 5U/6 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n.

Die rechte Seite der Gleichung ist eine arithmetische Reihe und hat somit den Wert n(n + 1)/2. Damit vereinfacht sich die Gleichung zu 5U/6 = n(n + 1)/2.

Setzt man die Weggleichung des ersten Mannes in die des zweiten ein, ergibt sich 50n = n(n + 1)/2. Diese Gleichung kann man nun nach n auflösen.

Man erhält dabei n = 99. Folglich begegnen sich die beiden Wanderer 99 Tage nachdem sie losgegangen sind.

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