Hemmes mathematische Rätsel: Was ergibt das Produkt aus 99 Faktoren?
Alfred S. Posamentier (geboren 1942) ist der bedeutendste Mathematikdidaktiker der USA und schreibt auch häufig Artikel für bekannte Tageszeitungen wie die »New York Times«. Aus seinem Buch »Math Charmers: Tantalizing Tidbits for the Mind«, das er 2003 veröffentlichte, stammt die folgende kleine Multiplikationsaufgabe. Sie scheint ganz simpel zu sein und dennoch gelingt es nicht jedem, sie zu lösen.
(1 − 1/4)(1 − 1/9)(1 − 1/16)(1 − 1/25) … (1 − 1/10000)
Wie groß ist dieses Produkt aus 99 Faktoren?
Natürlich kann man in allen 99 Klammern den Zahlenwert errechnen und dann die Ergebnisse miteinander multiplizieren. Aber es geht auch einfacher. Nach der dritten binomischen Formel gilt 1 − x2 = (1 − x)(1 + x). Somit kann man jeden Faktor des Produkts in jeweils zwei Faktoren aufspalten.
Dadurch erhält man (1 − 1/2)(1 + 1/2)(1 − 1/3)(1 + 1/3)(1 − 1/4)(1 + 1/4)…(1 − 1/100)(1 + 1/100), was sich zu 1/2 · 3/2 · 2/3 · 4/3 · 3/4 · 5/4 · 4/5 · … · 100/99 · 99/100 · 101/100 vereinfachen lässt.
Nun sieht man, dass der zweite und der dritte Bruch, der vierte und der fünfte Bruch und auch alle weiteren Paare jeweils zusammen 1 ergeben. Übrig bleiben darum nur der erste und der letzte Bruch. Das gesamte Produkt der neunundneunzig Faktoren hat folglich den Wert 1/2 · 101/100 = 101/200.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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