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Hemmes mathematische Rätsel: Was ergibt die Fläche des grünen Rechtecks durch 18 geteilt?

Das Gesamtvolumen der drei Würfel ist durch 18 teilbar. Der größte und der kleinste Würfel bilden zwei Seiten des grünen Rechtecks.
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2020 veröffentlichte Reiner Ketteniß aus Eschweiler bei Aachen in den »Aachener Nachrichten« und in der »Aachener Zeitung« ein kleines geometrisches Problem.

Drei Würfel, deren Kantenlängen drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind, liegen so nebeneinander auf dem Tisch, dass sie jeweils mit einer Kante aneinanderstoßen. Das Gesamtvolumen der drei Würfel ist durch 18 teilbar. Der größte und der kleinste Würfel bilden zwei Seiten des grünen Rechtecks. Welche Werte kann der Divisionsrest haben, wenn man den Flächeninhalt dieses Rechtecks durch 18 teilt?

Ist a die Kantenlänge des kleinsten Würfels, gilt für das Gesamtvolumen der drei Würfel a3 + (a + 1)3 + (a + 2)3 = 18k. Dabei ist k eine ganze Zahl.

Dies lässt sich zu (a + 1)((a + 1)2 + 2) = 6k umformen. Für die Fläche des grünen Rechtecks hingegen gilt a(a + 2) = 18m + R, wobei m eine ganze Zahl und R der Divisionsrest zwischen 0 und 17 ist.

Die Gleichung kann auch als (a + 1)2 = 18m + R + 1 geschrieben werden. Da in der Volumengleichung die rechte Seite durch 6 teilbar ist, muss es auch die linke sein. Hierfür gibt es vier Möglichkeiten:

  1. a + 1 ist durch 6 teilbar. Dann gilt für die Flächengleichung (6n)2 = 18m + R + 1 oder R + 1 = 18(2n2 − m), wobei n eine ganze Zahl ist. Das bedeutet, der Rest R, der ja nur zwischen 0 und 17 liegen kann, muss 17 betragen.
  2. (a + 1)2 + 2 ist durch 6 teilbar. Dann gilt für die Flächengleichung 6n = 18m + R + 3 oder R + 3 = 6(n − 3m). Folglich kann R nur 3, 9 oder 15 sein.
  3. a + 1 ist durch 2 und (a + 1)2 + 2 durch 3 teilbar. Dann gilt für die Flächengleichung (2n)2 = 18m + R + 1 und 3p = 18m + R + 3, was man zu R + 1 = 2(2n2 − 9m) und R + 3 = 3(p − 6m) umschreiben kann. Aus der ersten Gleichung folgen für R die ungeraden Zahlen von 1 bis 17 und aus der zweiten 0, 3, 6, 9, 12 und 15. Für beide Gleichungen gemeinsam kommen nur 3, 9 und 15 in Frage.
  4. a + 1 ist durch 3 und (a + 1)2 + 2 durch 2 teilbar. Analog zur 3. Möglichkeit folgt, für beide Gleichungen gemeinsam ist nur R = 17 möglich.

Der Divisionsrest kann also nur 3, 9, 15 oder 17 sein.

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