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Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist die Summe der Brüche?

Sieben komplizierte Brüche, mit Wurzelausdrücken. Können Sie schnell die Summe daraus ermitteln?
Ein Schüler lehnt mit dem Kopf an einer Tafel mit Mathe-Formeln.

Wie groß ist die Summe der sieben Brüche?

$$\frac{1}{5\sqrt{4}+4\sqrt{5}} + \frac{1}{6\sqrt{5}+5\sqrt{6}} + ... + \frac{1}{11\sqrt{10}+10\sqrt{11}}$$

Jeder der sieben Brüche hat die Form

$$\frac{1}{n\sqrt{n-1} + (n-1)\sqrt{n}}\text{,}$$

der sich durch Erweitern mit dem konjugierten Nenner zu

$$\frac{\sqrt{n-1}}{n – 1} – \frac{\sqrt{n}}{n}$$

vereinfachen lässt. Dies wird nun auf jeden der sieben Brüchen angewendet.

$$\frac{\sqrt{4}}{4} – \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} – \frac{\sqrt{6}}{6} + ... + \frac{\sqrt{10}}{10} – \frac{\sqrt{11}}{11} = \frac{\sqrt{4}}{4} – \frac{\sqrt{11}}{11} $$

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