Hemmes mathematische Rätsel: Welche 5 Zahlen haben Mittelwert, Median, Modus und Spannweite 5?
NRICH ist ein Projekt der mathematischen Fakultät der Universität Cambridge in England. Es stellt Schülern aller Altersstufen und auch Lehrern kostenlos Lern- und Lehrmaterial zur Verfügung. Darunter ist auch eine große Zahl mathematischer Probleme, die teilweise zur Unterhaltungsmathematik gerechnet werden. Eine Aufgabe für 11- bis 14-Jährige handelt vom Mittelwert, Median, Modus und der Spannweite.
Die deskriptive Statistik beschreibt Datenreihen durch Kennzahlen. Einige davon sind der Mittelwert, der Median, der Modus und die Spannweite. Der Mittelwert von n Zahlen ist die durch n geteilte Summe der Zahlen. Ordnet man die n Zahlen der Größe nach, ist der Median, wenn n ungerade ist, die mittlere Zahl. Ist n gerade, entspricht der Median dem Mittelwert der beiden mittleren Zahlen. Der Modus stellt hingegen die am häufigsten vorkommende Zahl dar. Allerdings ist er nicht immer eindeutig, eine Datenreihe kann mehrere Modi haben. Die Spannweite ist die Differenz zwischen der größten und der kleinsten Zahl.
Für welche fünf ganzen Zahlen gilt, dass ihr Mittelwert, ihr Median, ihr Modus und ihre Spannweite jeweils 5 ist?
Bezeichnet man die fünf aufsteigend geordneten ganzen Zahlen mit (a, b, c, d, e), so muss c = 5 sein, da es der Median ist. Folglich sind a und b höchstens 5 und d und e mindestens 5.
Da auch die Spannweite 5 beträgt, kommen darum für a und e nur die Zahlenpaare 0-5, 1-6, 2-7, 3-8, 4-9 und 5-10 in Frage.
Der Mittelwert der Zahlen beträgt (a + b + c + d + e)/5 = 5. Folglich muss die Summe der fünf Zahlen 25 sein.
Da c = 5 ist und, weil der Modus 5 ist, noch mindestens eine der beiden Nachbarzahlen b und d auch 5 ist, müssen die restlichen drei Zahlen zusammen 15 ergeben.
Für die möglichen sechs Zahlenpaare für a und e folgt daraus für die dritte Zahl 0-5 → 10, 1-6 → 8, 2-7 → 6, 3-8 → 4, 4-9 → 2 und 5-10 → 0. Die ersten beiden und die letzten beiden Möglichkeiten scheiden aus, da bei ihnen die dritte Zahl außerhalb des Spannbereichs liegt.
Für die dritte und vierte Möglichkeit hingegen ergeben sich die Lösungen (2, 5, 5, 6, 7) und (3, 4, 5, 5, 8).
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