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Rätseln mit Eder: Welche besondere Basis ist gesucht?

Existiert diese natürliche Zahl?
Viele verschiedene bunte Zahlen fliegen durch einen dunklen Raum.

Existiert eine natürliche Zahl x so, dass die Potenzwerte x3 und x4 aus genau den zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 gebildet werden und jede der zehn Ziffern auch nur genau einmal vorkommt?

Diese Zahl existiert und lautet 18.

Die Potenzwerte von x3 und x4 müssen zusammen aus genau zehn Ziffern aufgebaut sein. 

x muss größer sein als 17, denn die Potenzwerte aus 173 = 4913 und 174 = 83 521 bestehen zusammen aus lediglich neun Ziffern.

x muss kleiner sein als 22, denn die Potenzwerte aus 223 = 10 648 und 224 = 234 256 bestehen zusammen bereits aus elf Ziffern.

x = 20 kann man ausschließen, da sowohl beim Potenzwert von 203 als auch von 204 die Einerziffer eine 0 ist:

203 = ..........0

204 = ..........0

x = 21 kann man ausschließen, da sowohl beim Potenzwert von 213 als auch von 214 die Einerziffer eine 1 ist:

213 = ..........1

214 = ..........1

Für x kommen nur noch die Zahlen 18 und 19 in Frage.

Nur die Zahl 18 erfüllt die Bedingungen der Aufgabe:

183 = 5832               193 = 6859

184 = 104 976          194 = 130 321

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