Hemmes mathematische Rätsel: Welche größtmögliche Zahl ist gesucht?
Backgammon wird mit zwei gewöhnlichen Würfeln, die beide Augenzahlen von 1 bis 6 tragen, und mit einem Dopplerwürfel gespielt. Auf dem Dopplerwürfel stehen die sechs Zweierpotenzen von 21 = 2 bis 26 = 64, und sie sind so angeordnet, dass die Zahlen auf sich gegenüberliegenden Seiten stets das gleiche Produkt ergeben. Stapelt man drei Dopplerwürfel genau aufeinander, bleiben nur 13 ihrer 18 Seiten sichtbar. Wie groß kann die Summe der sichtbaren Zahlen höchstens sein?
Vom obersten Würfel ist nur eine Seite verdeckt. Steht auf dieser Seite die kleinste Zahl, also die 2, ist die Summe der sichtbaren Zahlen 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 124. Die Produkte der Zahlenpaare auf sich gegenüberliegenden Seiten sind 21 · 26, 22 · 25 und 23 · 24 und betragen jeweils 27 = 128. Ihre Summen hingegen sind mit 21 + 26 = 66, 22 + 25 = 36 und 23 + 24 = 24 alle unterschiedlich. Liegt das Zahlenpaar mit der kleinsten Summe bei den beiden unteren Würfeln jeweils auf der verdeckten unteren und oberen Seite, ergibt bei beiden Würfeln die Summe der sichtbaren Zahlen jeweils 66 + 36 = 102. Somit kann die Summe der sichtbaren Zahlen auf allen drei Würfeln zusammen höchstens 102 + 102 + 124 = 328 betragen.
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