Hemmes mathematische Rätsel: Welche natürlichen Zahlen sind gesucht?
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Von welchen beiden verschiedenen natürlichen Zahlen bilden deren Differenz, deren Summe und deren Produkt in genau dieser Reihenfolge eine arithmetische Folge?
Für eine arithmetische Folge mit den drei Gliedern a1 = b – d, a2 = b und a3 = b + d gilt stets a1 + a3 = 2a2. Sind m und n die beiden gesuchten Zahlen, ergeben sich daraus die drei Folgenglieder a1 = m – n, a2 = m + n und a3 = mn. Für sie gilt m – n + mn =2(m + n), was man zu m = 3n/(n – 1) auflösen kann. Der Bruch lässt sich nur dann zu einer natürlichen Zahl kürzen, wenn n = 2 oder n = 4 ist. Dadurch erhält man m = 6 oder m = 4. Nur der erste Fall ist eine Lösung der Aufgabe, denn im zweiten Fall ist m = n.
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