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Hemmes mathematische Rätsel: Welche primitiven pythagoreischen Tripel haben Kathetendifferenz 1?

Finden Sie Beispiele für primitive pythagoreische Tripel, deren Katheten die Differenz eins haben und deren Hypothenuse kleiner als 50 ist?
Dreieck mit Winkeln

2020 schrieb Walter Oberschelp von der RWTH Aachen in den »Aachener Nachrichten« und in der »Aachener Zeitung«: Wenn drei positive ganze Zahlen (a, b, c) über die Beziehung a2 + b2 = c2 miteinander verwandt sind, nennt man sie ein pythagoreisches Tripel.

Ist der größte gemeinsame Teiler der drei Zahlen eines pythagoreisches Tripels 1, nennt man es primitiv. So sind beispielsweise (3, 4, 5), (5, 12, 13) und (8, 15, 17) primitive pythagoreische Tripel. Bei dem ersten Beispiel ist Kathetendifferenz b − a = 1 und die Hypotenuse c < 50.

Gibt ist noch weitere primitive pythagoreische Tripel, die diese beiden Eigenschaften haben?

Beim zweiten und dritten Beispiel ist Kathetendifferenz hingegen b − a = 7. Gibt es auch primitive pythagoreische Tripel, bei denen b − a = 2 ist? Wenn ja, wie lautet dann das dazugehörige Tripel mit der kürzesten Hypotenuse?

Testet man systematisch die positiven ganzen Zahlen a = 1, 2, 3, …, ob a2 + (a + 1)2 eine Quadratzahl ergibt, wird man bei 3 und 20 fündig: 32 + 42 = 52 und 202 + 212 = 292.

Man kann die Suche bei a = 35 abbrechen, da 352 + 362 = 2521 > 502 ist. Fleißige Leute finden viel später noch das pythagoreische Tripel (119, 120, 169). Die mühsame Suche nach weiteren Beispielen kann man mit eleganteren Methoden abkürzen. Man findet hierdurch (696, 697, 985), (4059, 4060, 5741), (23660, 23661, 33461) und so wweiter.

Die n-te Hypotenuse cn errechnet sich dabei aus den beiden vorherigen Hypotenusen nach der Formel cn = 6cn–1 − cn–2. Es gibt also unendlich viele primitive pythagoreische Tripel mit b − a = 1.

Wenn b − a = 2 ist, sind entweder a und b beide gerade oder beide ungerade. Im ersten Fall ist dann auch c gerade und folglich das Tripel (a, b, c) nicht primitiv. Auch im zweiten Fall ist c gerade und somit c2 durch 4 teilbar. Teilt man die Quadrate a2 und b2 der beiden ungeraden Zahlen a und b durch 4, bleibt jeweils ein Divisionsrest von 1 übrig, also bei a2 + b2 ein Rest von 2.

Folglich gibt es keine primitiven pythagoreischen Tripel mit b − a = 2.

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