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Hemmes mathematische Rätsel: Wie lässt sich das Rechteck mit Quadratzahlen füllen?

Die vier Zeilen und die fünf Spalten des Rechtecks sollen neun verschiedene Quadratzahlen ergeben. Keine darf mit einer Null beginnen.
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Der 1963 in Denver geborene amerikanische Mathematiker Edward T. Pegg betreibt seit dem Jahr 2000 die Internetseite www.mathpuzzle.com, auf der immer das Neueste aus dem mathematischen Denksport zu finden ist. Im Januar 2002 stellte er dort ein Rätsel von Berend Jan van der Zwaag vor.

Schreiben Sie in die vier Zeilen und in die fünf Spalten des Rechtecks neun verschiedene Quadratzahlen. Keine der Quadratzahlen darf mit einer Null beginnen.

Jede Ziffer der Zahl in der letzten Zeile ist eine Endziffer der Zahlen der ersten drei Spalten. Da alle Quadratzahlen auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 enden, zweistellige Quadratzahlen außerdem nicht auf 0, und alle Zahlen verschieden sein müssen, kann die letzte Zeile nur 144, 169, 196 oder 961 lauten.

Daraus ergeben sich für die vorletzte Zeile die Möglichkeiten 86ABC, 81ABC, 83ABC, 84ABC, 41ABC und 43ABC, wobei ABC jeweils von 000 bis 999 reichen kann. Dabei sind B und C Endziffern der Zahlen der vierten und fünften Spalte. A hingegen ist vorletzte Stelle der Zahl aus der dritten Spalte. Probiert man die wenigen möglichen Quadratzahlen für die vorletzte Zeile aus, so erfüllen nur 41616 und 43264 die Bedingungen für A, B und C.

Im ersten Fall muss in der letzten Spalte 36 stehen und darum die Quadratzahl in der zweiten Zeile auf 3 enden. Das ist aber unmöglich, darum scheidet dieser Fall aus. Im zweiten Fall muss in der letzten Spalte 64 stehen. Von den sechs zweistelligen Quadratzahlen bleiben als Möglichkeiten für die erste Zeile nun nur noch 16, 25 und 81 übrig. Dadurch kann die Zahl in der dritten Spalte nur die Form 1X21, 2X21 oder 8X21 haben. Jedoch nur für 1521 erhält man eine Quadratzahl. Der Rest ist einfach.

Das Quadratzahlenrechteck

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