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Hemmes mathematische Rätsel: Welche rationalen Kantenlängen haben beide Würfel?

Schneidet man aus einem Würfel an einer Ecke einen kleineren zweiten Würfel heraus, hat der Würfelrest das Volumen 17.
Ein Berg von weißen Zuckerwürfeln

Der Rätselerfinder Henry Ernest Dudeney stellte in seinem 1907 erschienenen Buch »The Canterbury Puzzles« ein kniffliges Problem:

Zwei Würfel mit rationalen Kantenlängen haben zusammen ein Volumen von 17. Wie lang sind ihre Kanten?

Erstaunlicherweise ermittelte Dudeney ohne Computer vor über 100 Jahren die Kantenlängen 22327840831 und 1166340831. Es sind nicht die einzigen Lösungen, aber es sind die mit den kleinsten Zahlen. Wenn Ihnen die Vielstelligkeit der Lösung nicht gefällt, dann mögen Sie vielleicht lieber die Variante des Rätsels von Manfred Pietsch aus Kreuzau, die dieser 2021 erdachte.

Schneidet man aus einem Würfel an einer Ecke einen kleineren zweiten Würfel heraus, hat der Würfelrest das Volumen 17. Welche rationalen Kantenlängen haben beide Würfel?

Bei diesem Rätsel sind alle vorkommenden Zahlen des Ergebnisses höchstens zweistellig.

Die Kanten des großen und des kleinen Würfels haben die Längen a/c und b/c, wobei a, b und c natürliche Zahlen. Da die Differenz der beiden Würfelvolumina 17 sein soll, gilt (a/c)3 − (b/c)3 = 17, was sich zu a3 − b3 = 17c3 oder (a − b)(a2 + ab + b2) = 17c3 umformen lässt. Das bedeutet, mindestens einer der beiden Faktoren a − b und a2 + ab + b2 ist durch 17 teilbar.

Betrachten wir zunächst einmal den Fall, dass a − b durch 17 teilbar ist. Dann erhielten wir besonders kleine Wert für a und b, wenn a − b = 17 oder a = b + 17 ist. Setzen wir dies in die Volumengleichung ein, erhalten wir 17((b + 17)2 + (b + 17)b + b2) = 17c3, was man zu b2 + 17b + (289 − c3)/3 = 0 umformen kann. Diese quadratische Gleichung hat die positive Lösung b = –17/2 ± √(c3/3 − 289/12). Damit b positiv wird, muss √(c3/3 − 289/12) > 17/2 sein, was sich zu c > 6,61 vereinfachen lässt.

Probieren wir einmal den kleinstmöglichen Wert für c aus. Mit c = 7 erhalten tatsächlich mit b = 1 eine natürliche Zahl. Glück gehabt! Daraus ergibt sich a = 18. Dass dies auch die Lösung mit den kleinstmöglichen Zahlen ist, kann man durch eine sukzessive Überprüfung mit kleineren Zahlen schnell bestätigen.

Die Kanten der beiden Würfel sind also 18/7 und 1/7 lang.

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