Hemmes mathematische Rätsel: Welche rechtwinkligen Dreiecke sind gesucht?
Die beiden kleinsten Fibonacci-Zahlen sind beides Einsen. Jede weitere Fibonacci-Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgängerinnen.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …
Von welchen rechtwinkligen Dreiecken sind alle drei Seitenlängen Fibonacci-Zahlen?
Bei einem rechtwinkligen Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen sind die drei Seiten immer unterschiedlich lang. Wären die Katheten gleich, dann gälte a² + a² = c² oder c/a = √2. Das kann nicht sein, weil √2 irrational ist. Für die Fibonacci-Zahlen gilt F1 = F2 = 1 und Fn = Fn – 1 + Fn – 2 für alle n > 2. Sind a, b und c drei beliebige verschiedene und der Größe nach aufsteigend geordnete Fibonacci-Zahlen, so gilt darum a + b ≤ c. Weil aber für jedes Dreieck die Summe der beiden kürzeren Seiten größer sein muss als die längste Seite, kann es solche Dreiecke nicht geben.
Quelle: Trigg, Mathematical Quickies, Nr. 216.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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