Hemmes mathematische Rätsel: Welche Spielkarten hat der erste Logiker?
Die russisch-amerikanische Mathematikerin Tanya Khovanova wurde am 25. Januar 1959 geboren und studierte in Moskau. Sie ist die zweite Frau, die eine Goldmedaille bei der Internationalen Mathematik-Olympiade gewann. Sie arbeitet als Dozentin für Mathematik am Massachusetts Institute of Technology in den USA. Seit 2007 schreibt sie „Tanya Khovanova’s Math Blog“ über Mathematik. Am 5. Dezember 2021 stellte sie dort ihren Leserinnen und Lesern folgendes Problem, das sie auf Facebook gefunden hatte.
Die zwölf Herzspielkarten vom Ass bis zur Dame werden vier Logikern gezeigt, dann gründlich gemischt und anschließend an die vier Logiker verteilt. Jeder Logiker kann nur seine eigenen drei Karten sehen, nicht aber die seiner Mitspieler. Wie üblich hat das Ass den Wert 1, der Bube 11 und die Dame 12. Nun sagt der erste Logiker: „Eine meiner Karten hat den Wert 8.“ Darauf erwidert der zweite Logiker: „Die Werte aller meiner Karten sind Primzahlen.“ Und der dritte Logiker: „Von meinen Karten hat keine den Wert einer Primzahl. Die Werte sind alle Vielfache einer bestimmten Primzahl.“ Schließlich sagt der vierte Logiker: „Ich weiß, welche Karten jeder von euch hat.“ Natürlich sagt jeder Logiker die Wahrheit. Welche Karten hat der erste Logiker?
In dem Bereich von 1 bis 12 liegen die fünf Primzahlen 2, 3, 5, 7 und 11. Da der vierte Logiker die Zahlen des zweiten Logikers kennt, müssen zwei dieser Primzahlen auf seinen eigenen Karten stehen, wofür es zehn verschiedene Möglichkeiten gibt. Die Zahlen auf den Karten des dritten Logikers sind entweder Vielfache von 2 oder von 3. Diese Vielfachen sind 4, 6, 10, 12 oder 6, 9, 12. Die 8 fällt fort, weil sie auf einer Karte des ersten Logikers steht. Damit der vierte Logiker weiß, welche Karten der dritte hat, muss er entweder zwei Zweivielfache oder ein Zweivielfaches und ein Dreivielfaches ausscheiden können. Da er aber nur noch eine freie Karte hat, scheidet die erste Möglichkeit aus. Für die zweite Möglichkeit kommen entweder die 6 oder die 12 in Frage. Folglich gibt es insgesamt 20 verschiedene Möglichkeiten für die Zahlen des vierten Logikers. In jedem Fall bleiben aber für den ersten Logiker nur die 1, 8 und 9 übrig.
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