Rätseln mit Eder: Welche Summen haben die Gewinnlose in der Tombola?
Bei einer Betriebsfeier eines Großunternehmens gab es eine Tombola, deren Erlös für einen guten Zweck gespendet werden sollte. Ein Los kostete 25 Euro. Es gab Preise im Wert von 25 Euro, 100 Euro und 500 Euro zu gewinnen. Der Gesamtwert aller Preise betrug 2000 Euro. In der Lostrommel befanden sich genau 24 Gewinnlose.
Wie viele Gewinner gab es jeweils für die einzelnen Gewinnsummen?
Es gab zwei Preise à 500 Euro, sechs Preise à 100 Euro und 16 Preise à 25 Euro.
Bezeichnet man die gesuchten Anzahlen der Preise mit P1, P2 und P3, dann muss gelten:
500 ∙ P1 + 100 ∙ P2 + 25 ∙ P3 = 2000
Zusätzlich ist bekannt, dass P1 + P2 + P3 = 24.
P1 muss kleiner als 4 sein, da der Gesamtgewinn 2000 Euro betrug.
Es könnte dann keine Gewinne für die Werte von 25 Euro und 100 Euro geben.
Für P1 = 3 bliebe ein Wert von 500 Euro zu verteilen:
100 ∙ P2 + 25 ∙ P3 = 500
Auch dies ist nicht möglich. Die größtmögliche Gewinnanzahl für den 25-Euro-Preis wäre 20. Die Gesamtzahl von 24 Gewinnlosen kann daher nicht erreicht werden.
Für P1 = 2 hat das folgende Gleichungssystem die Lösungen:
P2 = 6 und P3 = 16.
I. 100 ∙ P2 + 25 ∙ P3 = 1000
II. P2 + P3 = 22
2 ∙ 500 + 6 ∙ 100 + 16 ∙ 25 = 2000 und 2 + 6 + 16 = 24
Es bleibt zu überprüfen, ob für P1 = 1 eine weitere Lösung existiert.
Eine solche Lösung gibt es nicht.
Das folgende Gleichungssystem hat keine ganzzahlige Lösung:
I. 100 ∙ P2 + 25 ∙ P3 = 1500
II. P2 + P3 = 23
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