Hemmes mathematische Rätsel: Welche Uhrzeit ist gesucht?
Der Stundenzeiger einer Turmuhr ist 80 Zentimeter und der Minutenzeiger 100 Zentimeter lang. Um welche Uhrzeit liegen an jedem Tag die Spitzen der beiden Zeiger und ihr gemeinsamer Drehpunkt erstmals auf den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks?
In zwölf Stunden dreht der Stundenzeiger eine Runde und der Minutenzeiger zwölf Runden über das Zifferblatt. Hat also der Stundenzeiger seit Mitternacht einen Winkel α überstrichen, hat der Minutenzeiger schon 12α zurückgelegt. Liegt der rechte Winkel des Dreiecks zwischen den beiden Zeigern, bedeutet dies 12α – α = 90° oder α = 90°/11. Braucht der Stundenzeiger m Minuten, um den Winkel α zurückzulegen, so gilt α/360° = m/(12 ∙ 60) oder m = 2α/1° = 2 ∙ 90°/11° = 164/11 Minuten. Der rechte Winkel kann aber auch zwischen dem Stundenzeiger und der Verbindungsstrecke a der beiden Zeigerspitzen liegen. Das Dreieck ist rechtwinklig, wenn a2 = (100 cm)2 – (80 cm)2 = (60 cm)2 beträgt. Der Winkel zwischen den beiden Zeigern hat dann die Größe arccos(80/100) = arccos(0,8). Damit gilt für die überstrichenen Winkel 12α – α = arccos(0,8) oder α = arccos(0,8)/11 und die seit Mitternacht verstrichene Zeit m = 2α/1° = 2 ∙ arccos(0,8)/11° ≈ 6,70 Minuten. Der zweite Fall tritt also deutlich eher ein als der erste.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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