Hemmes mathematische Rätsel: Welche Werte sind gesucht?
Die Nullstellen der Funktion f(x) = ax2 + bx + c sind a und b. Dabei sind a, b und c ganze Zahlen, die positiv oder negativ sein dürfen, aber nicht 0. Wie groß sind a, b und c?
Für die Nullstellen x0 der quadratischen Funktion gilt ax02 + bx0 + c = 0 oder x02 + b/a · x0 + c/a = 0. Sind a und b die Nullstellen, kann man dafür auch (x0 – a)(x0 – b) = 0 oder x02 – (a + b)x0 + ab = 0 schreiben. Durch den Koeffizientenvergleich bei den beiden Nullstellengleichungen erhält man b/a = – (a + b) und c/a = ab. Löst man die erste Gleichung nach b auf, so wird daraus b = – a2/(a + 1). Da b ganzzahlig ist, muss a + 1 ein Teiler von a2 sein. Folglich muss a + 1 auch ein Teiler von a(a + 1) – a2 sein. Da dieser Term sich zu a zusammenfassen lässt, ist a + 1 auch ein Teiler von a. Das ist nur möglich, wenn a + 1 = ±1 ist. Da a nicht 0 sein darf, muss a = –2 sein. Daraus ergeben sich direkt b = 4 und c = 16.
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