Hemmes mathematische Rätsel: Welche Werte sind gesucht?
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Für welche Werte von n ist p1 · p2 · p3 · … · pn + 1 eine Quadratzahl? Dabei ist mit pn die n-te Primzahl gemeint.
Weil p1 = 2 die einzige gerade Primzahl ist, ist das Produkt p1 · p2 · p3 · … · pn durch 2, aber nicht durch 4 teilbar. Es ergibt darum bei der Division durch 4 einen Rest von 2. Teilt man p1 · p2 · p3 · … · pn + 1 durch 4, bleibt folglich ein Rest von 3. Jede Quadratzahl hat die Form (4i + j)2 = 16i2 + 8ij + j2, wobei j = 0, 1, 2 oder 3 ist. Der letzte Summand j2 kann nur die Werte 0, 1, 4 oder 9 haben. Alle Quadratzahlen sind somit entweder durch 4 teilbar oder ergeben einen Rest von 1. Folglich kann p1 · p2 · p3 · … · pn + 1 niemals eine Quadratzahl sein.
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