Da sin² x + cos²x = 1 ist, kann man den Exponenten cos²x durch 1 – sin²x ersetzen und erhält \( 81^sin^2⁡x +81^〖1 – sin^2〗⁡x =30. \)

Für den erlaubten Winkelbereich ist sin x immer größer als 0, deshalb kann man problemlos dadurch teilen. Mit der Abkürzung u = sin²x vereinfacht sich die Gleichung zu 81^u + 81^{1 – u} = 30, was man zu 81^u + 81/81^u = 30 und dann zu 81^2u – 30 · 81^u + 81 = 0 umformen kann. Durch die weitere Abkürzung v = 81^u wird daraus die einfache quadratische Gleichung v² – 30v + 81 = 0, die die beiden Lösungen v₁ = 3 und v₂ = 27 hat. Setzt man diese Werte in die Definition für v ein, erhält man \( 3=81^(u_1 ) \) und \( 27=81^(u_2 ) \). Alle auftretenden Zahlen sind Dreierpotenzen, was zu \( 3^1=3^(4u_1 ) \) und \( 3^3=3^(〖4u〗_2 ) \) führt. Da in den Gleichungen die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein, und es gilt 1 = 4u₁ und 3 = 4u₂. Daraus erhält man u₁ = ¹/₄ und u₂ = ³/₄. Dies wird nun in die Definition von u eingesetzt und ergibt sin²x₁ = ¹/₄ und sin²x₂ = ³/₄ oder sin x₁ = ¹/₂ und sin x₂ = ¹/₂√3. Daraus ergeben sich die beiden Winkel x₁ = 30° und x₂ = 60°.