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Hemmes mathematische Rätsel: Welche Winkel sind gesucht?

Viele verschiedene Ziffern

Für welche Winkel x zwischen 0° und 90° ist die Gleichung \( 81^{sin^2⁡x} +81^{cos^2⁡x} =30 \) erfüllt?

Da sinx + cos2x = 1 ist, kann man den Exponenten cos2x durch 1 – sin2x ersetzen und erhält \( 81^sin^2⁡x +81^〖1 – sin^2〗⁡x =30. \)

Für den erlaubten Winkelbereich ist sin x immer größer als 0, deshalb kann man problemlos dadurch teilen. Mit der Abkürzung u = sin2x vereinfacht sich die Gleichung zu 81u + 811 – u = 30, was man zu 81u + 81/81u = 30 und dann zu 812u – 30 · 81u + 81 = 0 umformen kann. Durch die weitere Abkürzung v = 81u wird daraus die einfache quadratische Gleichung v2 – 30v + 81 = 0, die die beiden Lösungen v1 = 3 und v2 = 27 hat. Setzt man diese Werte in die Definition für v ein, erhält man \( 3=81^(u_1 ) \) und \( 27=81^(u_2 ) \). Alle auftretenden Zahlen sind Dreierpotenzen, was zu \( 3^1=3^(4u_1 ) \) und \( 3^3=3^(〖4u〗_2 ) \) führt. Da in den Gleichungen die Basen gleich sind, müssen auch die Exponenten gleich sein, und es gilt 1 = 4u1 und 3 = 4u2. Daraus erhält man u1 = 1/4 und u2 = 3/4. Dies wird nun in die Definition von u eingesetzt und ergibt sin2x1 = 1/4 und sin2x2 = 3/4 oder sin x1 = 1/2 und sin x2 = 1/2√3. Daraus ergeben sich die beiden Winkel x1 = 30° und x2 = 60°.

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