Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Die Summe der Kehrwerte der Teiler von 6 beträgt 2, wobei 1 und 6 selbst auch als Teiler zählen. Es gilt also 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2. Wie lautet die nächste Zahl, bei der die Summe der Kehrwerte ihrer Teiler 2 beträgt?
Sind 1, a, b, c … und n die der Größe nach aufsteigend geordneten Teiler der gesuchten Zahl n, so gilt 1/1 + 1/a + 1/b + 1/c + … 1/n = 2. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit n, wird daraus n/1 + n/a + n/b + n/c + … n/n = 2n oder n/a + n/b + n/c + … + 1 = n. Auf der linken Seite der Gleichung stehen die Teiler von n in absteigender Reihenfolge, allerdings ohne n selbst, und auf der rechten Seite steht n. Dies ist exakt die Definition der vollkommenen Zahlen. Die erste vollkommene Zahl ist 6, und die gesuchte zweite Zahl ist 28. Die nächsten drei vollkommenen Zahlen sind übrigens 496, 8128 und 33 550 336.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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