Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Für die vier natürlichen Zahlen a, b, c und d gilt 1 ≤ a < b < c < d ≤ 100. Was ist der kleinstmögliche Wert für x = a/b + c/d?
Für den kleinstmöglichen Wert von x muss a = 1 und d = 100 sein, denn sonst könnte man x verkleinern, indem man a verkleinert oder d vergrößert. Da b < c ist, muss außerdem c = b + 1 sein, denn wenn c > b + 1 wäre, würde sich x vergrößern. Somit ist x nur von b abhängig, und es gilt xb = 1/b + (b + 1)/100. Die Differenz der x-Werte für zwei aufeinander folgende Werte von b beträgt xb+1 – xb = (1/(b + 1) + (b + 2)/100) – (1/b + (b + 1)/100) = (b(b + 1) – 100) / (100b(b + 1)). Der Nenner ist immer positiv. Daher ist xb+1 – xb genau dann positiv, wenn der Zähler positiv ist, also wenn b(b + 1) > 100 ist. Das ist für b ≥ 10 der Fall. Das heißt, ab dort steigen die Differenzen, und bis dorthin fallen sie, wobei die Differenz 0 nicht vorkommt. Deshalb liegt bei b = 10 das Minimum von x. Es hat den Wert 21/100.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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