Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Der 1951 geborene Architekt Karl Flormann aus Bielefeld hat schon etliche mathematische Knobeleien entworfen. Das folgende geometrische Problem, das auf einer bekannten Spielerei für Kinder aufbaut, erfand er im Juli 2023.
Das Haus vom Nikolaus besteht aus einem Quadrat mit seinen beiden Diagonalen und einem darauf aufgesetzten gleichseitigen Dreieck als Dach. Das Haus liegt in einem Kreis, dessen Umfang durch die untere linke Hausecke läuft und dessen Mittelpunkt die obere rechte Ecke ist. Das linke Dach des Nikolaushauses ist so weit nach unten verlängert worden, dass es auf den Kreisumfang stößt. Wie lang ist das linke Dach vom First bis zur Traufe, wenn das Haus die Seitenlänge 1 hat?
Der Fußpunkt E der Höhe CE des gleichseitigen Dreiecks ABC halbiert die Seite AB. Somit hat AE die Länge 1/2, und man kann mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Höhe zu h = 1/2√3 berechnen. Die Strecke CD und die Diagonale CF sind Kreisradien und haben nach dem Satz des Pythagoras die Länge r = √2. Daraus kann man wiederum mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Seite ED des rechtwinkligen Dreiecks CED zu √(2 – 3/4) = 1/2√5 bestimmen. Somit hat das linke Dach AD des Nikolaushauses vom First bis zur Traufe die Länge 1/2 + 1/2√5 = 1/2(1 + √5) ≈ 1,618. Dies ist der berühmte goldene Schnitt, ein Streckenverhältnis, das seit der Antike in der Kunst und in der Architektur verwendet und als besonders ästhetisch empfunden wird.
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