Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Diophantos von Alexandria war ein griechischer Mathematiker. Es ist nicht genau bekannt, wann er lebte; die Angaben schwanken zwischen 150 und 350 n. Chr. Diophantos gilt als der bedeutendste Algebraiker der Antike. Von seinem dreizehnbändigen Werk »Arithmetica« sind nur die ersten zehn Bücher erhalten geblieben. Eines davon handelt von den Polygonalzahlen, zu denen auch die Fünfeckszahlen gehören.
Ein regelmäßiges Fünfeck n-ter Ordnung hat die Seitenlänge n – 1, und auf jeder seiner Seiten liegen n Punkte im Abstand 1 voneinander. Die Zahl aller Punkte der Figur, die entsteht, wenn man die Fünfecke erster bis n-ter Ordnung so ineinander verschachtelt, wie es das Bild zeigt, nennt man die n-te Fünfeckszahl. Die ersten fünf Fünfeckszahlen sind folglich 1, 5, 12, 22 und 35. Wie groß ist die 55. Fünfeckszahl?
Jedes neue Fünfeck entsteht aus dem vorherigen Fünfeck, indem man drei Seiten des neuen Fünfecks hinzufügt. Die n-te Fünfeckszahl fn erhält man dadurch, dass man zur (n−1)-ten Fünfeckszahl 3n – 2 addiert. Die n-te Fünfeckszahl ist also der Wert der arithmetischen Reihe fn = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … + (3n – 2). Diese Reihe hat n Glieder, das Anfangsglied 1 und das Endglied 3n − 2. Ihre Summe hat somit den Wert fn = 1/2n((3n – 2) + 1) = 1/2n(3n – 1). Die 55. Fünfeckszahl ist somit 4510.
Diophantos von Alexandria löste das Problem nicht nur für Fünfeckszahlen, sondern auch für beliebige m-Ecks-Zahlen: Die n-te m-Ecks-Zahl hat den Wert 1/2n((n – 1)m – 2n + 4). Dabei muss m > 2 sein.
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