Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Die heutige Kopfnuss ist eine Variante von Herbert Nell aus Herzogenrath einer Aufgabe, die vor Kurzem hier zu finden war. In dem alphametischen Bruch steht jeder Buchstabe für eine Ziffer. Gleiche Buchstaben stehen für gleiche Ziffern, verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern, und die 0 kommt nicht vor. Welches ist der kleinste Wert, den der Bruch haben kann?
Der Bruch (Z + A + E + H + L + E + R)/(N + E + N + N + E + R) kann auch als (Z + A + H + L + 2E + R)/(3N + 2E + R) geschrieben werden. Der etwas einfachere Bruch (Z + A + H + L)/(3N) ist minimal, wenn der Zähler so klein und der Nenner so groß wie möglich ist. Dies ist bei (1 + 2 + 3 + 4)/(3 · 9) = 10/27 der Fall. Beim tatsächlichen Bruch ist aber sowohl der Zähler als auch der Nenner noch um 2E + R größer. Dadurch erhöht sich der Wert des Bruches, und zwar umso mehr, je größer 2E + R ist. Somit können die beiden Ziffern 7 und 8 in dem Minimalbruch nicht vorkommen. Nun kann man den Bruch auch als (Z + A + H + L + E + R + E)/(3N + 2E + R) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + E)/( 3 · 9 + 2E + R) = (21 + E)/(27 + 2E + R) schreiben. Probiert man für E und R alle Ziffern von 1 bis 6 durch, findet man schnell mit E = 5 und R = 6 den Minimalbruch vom Wert 26/43. Ein Beispiel dafür ist (1 + 2 + 5 + 3 + 4 + 5 + 6)/(9 + 5 + 9 + 9 + 5 + 6) = 26/43.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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