Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
In der Folge 0, 1, 2, 7, 20, 61 … ist jede Zahl, abgesehen von den ersten beiden Zahlen, die Summe aus dem Doppelten ihrer Vorgängerin und dem Dreifachen ihrer Vorvorgängerin. Das Verhältnis einer Zahl zu dem ihrer Vorgängerin konvergiert gegen einen Grenzwert. Wie groß ist er?
Ist an die n-te Zahl der Folge und g der gesuchte Grenzwert, dann haben für sehr große Werte von n die (n + 1)-te und die (n + 2)-te Zahl näherungsweise die Größen an + 1 = gan und an + 2 = g2an. Außerdem gilt für die (n + 2)-te Zahl an + 2 = 2an + 1 + 3an. Setzt man in diese Gleichung die zuvor gefundenen Ausdrücke ein, erhält man g2an = 2gan + 3an, was man zu g2 – 2g – 3 = 0 vereinfachen kann. Diese quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen –1 und 3. Da der Grenzwert nicht negativ sein kann, ist er 3.
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