Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Zwölf Piraten teilen eine Truhe voller Golddukaten untereinander auf. Der erste Pirat nimmt sich 1/12 der Dukaten, der zweite 2/12 vom Rest und so weiter. Der n-te Pirat bekommt also n/12 der Münzen, die die ersten n – 1 Piraten noch in der Truhe gelassen haben. In der Truhe liegt die kleinste Zahl von Dukaten, mit der bei diesem Verteilungsverfahren jeder der zwölf Piraten eine natürliche Zahl von Dukaten bekommt. Wie viele Dukaten bekommt der zwölfte Pirat?
Zu Anfang haben N Münzen in der Truhe gelegen. Nachdem sich der erste Pirat seinen Anteil genommen hat, liegen noch N · 11/12 Dukaten in der Truhe. Davon nimmt sich der zweite Pirat 2/12, und es bleiben N · 11/12 · 10/12 Dukaten zurück. In dieser Weise geht es weiter, bis schließlich nach dem elften Piraten nur noch ein Rest von N · 11/12 · 10/12 · 9/12 · 8/12 · 7/12 · 6/12 · 5/12 · 4/12 · 3/12 · 2/12 · 1/12 = N · 1925/35 831 808 Dukaten bleibt. Da sich der Bruch nicht weiter kürzen lässt und der zwölfte Pirat mindestens eine Münze bekommt, muss N · 1925/35 831 808 · 12/12 eine natürliche Zahl sein. Folglich waren ursprünglich 35 831 808 Dukaten in der Truhe, von denen der letzte Pirat 1925 erhält. Man muss nun noch überprüfen, ob auch die anderen elf Piraten eine ganzzahlige Menge Münzen erhalten, was tatsächlich der Fall ist.
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