Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Frank Rehm wurde 1953 in Freiberg in Sachsen geboren und lebt heute in Leipzig. Er studierte an der Lomonossow-Universität in Moskau Mathematik. Sein Studium schloss er 1976 ab, und seitdem arbeitet er als Informatiker. Schon seit seiner Jugend löst und entwirft Frank Rehm mathematische Denksportaufgaben. Er arbeitet mit bei der Leipziger Schülergesellschaft der Mathematiker, bei Mathematikolympiaden, bei der Leipziger »Inspirata«, bei der Jenaer »Imaginata« und bei der mathematischen Schülerzeitschrift »Monoid« der Universität Mainz. Im August 2025 schickte er mir eine seiner hübschen, selbst entworfenen Knobeleien.
Was ist die kleinste positive ganze Dezimalzahl x, an deren Ende man zwei verschiedene dreistellige positive Dezimalzahlen a und b hängen kann, so dass man in beiden Fällen eine Quadratzahl erhält? Kehrt man die Reihenfolge der Ziffern der beiden dreistelligen Zahlen um, müssen zwei Kubikzahlen entstehen, die aber mit führenden Nullen beginnen dürfen. Wären beispielsweise x = 12, a = 423 und b = 170, so müssten 12 423 und 12 170 Quadratzahlen und 324 und 071 Kubikzahlen sein, was aber nicht der Fall ist.
Die einzigen positiven Kubikzahlen mit höchstens drei Stellen sind 13 = 001, 23 = 008, 33 = 027, 43 = 064, 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, 83 = 512 und 93 = 729, und ihre Umkehrzahlen sind 100, 800, 720, 460, 521, 612, 343, 215 und 927. Zahlen, die auf 0 enden, kann man auch als 10n schreiben, wobei n die Zahl ist, die entsteht, wenn man die Endnull streicht. Ihr Quadrat ist 100n2. Da Quadratzahlen nicht mit den Ziffern 2, 3, 7, 8 und 800 enden können, Quadratzahlen, die auf 0 enden, als vorletzte Ziffer auch eine 0 haben müssen, und Quadratzahlen, die auf 5 enden, als vorletzte Ziffer eine 2 haben müssen, scheiden alle Zahlen bis auf 100 und 521 aus. Die fünf kleinsten, mindestens zweistelligen Quadratzahlen, die auf 1 enden, sind 92 = 81, 112 = 121, 192 = 361, 212 = 441 und 292 = 841. Streicht man die 1 am Ende der Zahlen und setzt die Reste nacheinander vor 521, erhält man erstmals bei 44 eine Quadratzahl. Die gesuchte Zahl ist somit 44, die mit 44 100 = 2102 und 44 521 = 2112 zwei verschiedene Quadratzahlen ergibt.
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