Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Auf einer Strecke sind nacheinander die 42 Punkte P1 bis P42 markiert, wobei die Abstände benachbarter Punkte Pi und Pi + 1 stets 1/i betragen. Wie groß ist die Summe der Abstände aller 861 Punktepaare? Ein Punktepaar braucht dabei nicht benachbart zu sein.
Natürlich kann man jetzt für jedes Punktepaar den Abstand berechnen und dann all die Abstände zusammenzählen, aber es geht auch viel einfacher.
Das Streckenstück von Pi nach Pi + 1 ist ein Teilstück der Abstandsstrecke eines jeden Punktes, der links von Pi liegt oder mit Pi zusammenfällt, zu jedem Punkt, der rechts von Pi + 1 liegt oder mit Pi + 1 zusammenfällt. Für den linken Endpunkt stehen i Punkte zur Auswahl und für den rechten Endpunkt 42 – i Punkte. In die Summe der Abstände aller Punktepaare geht das Streckenstück von Pi nach Pi + 1 also i(42 – i)-fach ein. Da die Länge dieses Streckenstücks 1/i beträgt, ist sein Beitrag zur Summe aller Abstände 1/i · i(42 – i) = 42 – i. Zum Schluss müssen wir noch für i = 1 bis 41 alle Differenzen 42 – i addieren. Dies ergibt 41 + 40 + 39 + … + 1 = 1/2 · 41 · 42 = 861.
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