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Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahlen ergeben das größtmögliche Produkt?

Ganz viele verschiedene Zahlen

Welche natürlichen Zahlen a, b, c … mit der Summe a + b + c + … = 100 ergeben das größtmögliche Produkt a · b · c · … = P? Die Zahlen brauchen dabei nicht alle unterschiedlich zu sein.

Es ist offensichtlich, dass die 1 nicht zu den Zahlen gehört, denn sie würde zwar die Summe vergrößern, aber nicht das Produkt. Eine 4 unter den Zahlen könnte durch zwei Zweien ersetzt werden, ohne dass sich die Summe oder das Produkt verändern, denn es gelten 4 = 2 + 2 und 4 = 2 · 2. Jede Zahl n aber, die größer als 4 ist, kann man durch 2 und n – 2 ersetzen. Dadurch bleibt die Summe erhalten, aber der Faktor n vergrößert sich zu 2(n – 2) = 2n – 4 > n, wodurch natürlich auch das gesamte Produkt größer wird. Folglich besteht das größte Produkt P nur aus Faktoren der Größen 2 und 3. Außerdem können höchstens zwei Zweien vorkommen, denn 2 + 2 + 2 könnte man durch 3 + 3 ersetzen, denn 3 · 3 = 9 ist größer als 2 · 2 · 2 = 8.  Da 2 · 2 + 32 · 3 = 100 ergibt, ist das größtmögliche Produkt 22 · 332 = 7 412 080 755 407 364.

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