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Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahlen ergeben waagerecht und senkrecht Primzahlen?

Füllen Sie die Felder so mit Ziffern aus, dass nur Primzahlen entstehen. Außerdem soll die Summe der Ziffern in jeder der fünf Spalten gleich sein.
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Das populärwissenschaftliche britische Magazin »New Scientist« erscheint seit 1956 jede Woche. Am 5. Januar 2013 stellte Peter Chamberlain darin folgendes Rätsel:

Füllen Sie die Felder dieses Kreuzzahlrätsels so mit Ziffern aus, dass waagerecht und senkrecht die elf zwei- und dreistelligen Zahlen Primzahlen sind. Außerdem soll die Summe der Ziffern in jeder der fünf Spalten gleichgroß sein. Natürlich darf keine der Zahlen mit einer 0 beginnen.

In der dritten Spalte steht nur eine einzelne Ziffer. Deshalb kann die Ziffernsumme jeder Spalte nicht größer als 9 sein. Für die beiden Zahlen der ersten Spalte gibt es darum nur die beiden Möglichkeiten 23 und 11 mit der Ziffernsumme 7 und 23 und 13 mit der Ziffersumme 9.

Damit liegen alle Ziffern der ersten Spalte, mit nur einer Ausnahme, fest. In dem Kreuzzahlrätsel kann keine 0 vorkommen, da keine Zahl mit einer 0 beginnen darf und keine Primzahl auf einer 0 endet. Die erste Zahl der zweiten Zeile ist entweder 31 oder 37. Wäre sie 37, müsste die Zahl in der zweite Spalte 711 sein, denn nur sie hätte eine Ziffersumme, die 9 nicht überschreitet.

Allerdings ist 711 keine Primzahl. Folglich ist die erste Zahl der zweite Zeile 31. Die erste Zahl in der vierten Zeile ist entweder 11, 13, 17 oder 19. Die letzte Zahl scheidet aus, weil sonst die Ziffernsumme in der zweiten Spalte zu groß wird. Somit kommen für die zweite Spalte nur die Zahlen 133 und 151 mit der Ziffernsumme 7 und 117, 153 und 171 mit der Ziffernsumme 9 in Frage. Von diesen fünf Zahlen ist aber nur 151 eine Primzahl. Die restlichen Zahlen sind nun leicht zu finden.

Kreuzprimzahlrätsel

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