Mit der Abkürzung u = ∛x und dadurch mit x = u³ erhält man √(1 + √(1 + u³)) = u. Quadriert man beide Seiten der Gleichung, wird daraus 1 + √(1 + u³) = u², was man zu √(1 + u³) = u² – 1 oder √(1 + u³) = (u + 1)(u – 1) umformen kann. Ein erneutes Quadrieren macht daraus 1 + u³ = (u + 1)²(u – 1)². Die linke Seite der Gleichung lässt sich in ein Produkt umformen, und man erhält (u + 1)(u² – u + 1) = (u + 1)²(u – 1)² oder (u + 1)(u² – u + 1) – (u + 1)²(u – 1)² = 0. Diese Gleichung kann man umformen zu (u + 1)((u² – u + 1) – (u + 1)(u – 1)²) = (u + 1)((u² – u + 1) – (u³ – u² – u + 1)) = (u + 1)(2 – u)u² = 0. Die Gleichung ist erfüllt, wenn einer der drei Faktoren vor dem letzten Gleichheitszeichen 0 ist. Sie hat also die Lösungen u = –1, u = 2 und u = 0. Da x = u³ ist, erhält man x = –1, x = 8 und x = 0. Eine Probe mit der Ausgangsgleichung ergibt nur x = 8 als gültige Lösung.