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Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahlen sind gesucht?

Tauben im Park

Die Erzählungen aus Tausendundeiner Nacht sind eine Sammlung von mehr als 550 Geschichten aus dem arabischen, persischen und indischen Kulturraum. Das Werk ist ein Klassiker der Weltliteratur. Die älteste, nur teilweise erhaltene Handschrift stammt aus dem 15. Jahrhundert. Die Geschichten sind aber viel älter, einige kommen sogar aus der Zeit um 250. In der Rahmenhandlung erzählt Scheherazade ihrem Mann, dem König Schahryar, Nacht für Nacht fast drei Jahre lang Geschichten, die sie stets im Morgengrauen unterbricht mit dem Versprechen, sie in der nächsten Nacht weiterzuerzählen. Dadurch kann sie ihr Leben vor dem zwar mordlüsternen, aber neugierigen König retten. In der 438. bis 462. Nacht erzählt Scheherazade die Geschichte von Tawaddud. Sie war eine Sklavin des Kalifen Harun al-Raschid und sehr klug. In der 458. Nacht erzählt Scheherazade, dass Tawaddud einst einem Philosophen folgende Aufgabe stellte: »Löse mir dieses Rätsel: Eine fliegende Taubenschar kam zu einem hohen Baum, und ein Teil von ihnen setzte sich auf den Baum, der andere Teil darunter. Da sprachen die auf dem Baum zu denen, die unten waren: ›Wenn eine von euch herauffliegt, so seid ihr ein Drittel von uns allen; und wenn eine von uns herabfliegt, so werden wir euch an Zahl gleich sein.‹ Wie viele Tauben waren auf dem Baum und wie viele darunter?«

Setzen sich n Tauben auf den Baum und m darunter, besteht die Schar aus n + m Tauben. Die beiden Behauptungen der Tauben auf dem Baum lassen sich durch die Gleichungen m – 1 = (n + m)/3 und n – 1 = m + 1 beschreiben. Löst man die zweite Gleichung nach n auf, erhält man n = m + 2. Dies wird nun in die erste Gleichung eingesetzt, was m – 1 = (m + 2 + m)/3 ergibt und sich zu m = 5 vereinfachen lässt. Daraus folgt auch sofort n = 7.

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