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Hemmes mathematische Rätsel: Welche Ziffernpaare sind Primzahlen?

Die Zahl 111

Das Ziffernpaar AB ist eine zweistellige Zahl. Welche Ziffernpaare AB sind im Oktal-, im Dezimal- und im Duodezimalsystem Primzahlen? Dabei darf A zwar gleich B, aber keine 0 sein.

Im Dezimalsystem gibt es die einundzwanzig zweistelligen Primzahlen 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97. Da im Oktalsystem die Ziffern 8 und 9 nicht vorkommen, reduziert sich die Liste auf 11, 13, 17, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71 und 73. Im Duodezimalsystem sind Zahlen, die auf 3 enden, durch 3 teilbar. Also scheiden diese auch aus, und es bleiben 11, 17, 31, 37, 41, 47, 61, 67 und 71. Rechnet man diese Oktalzahlen in Dezimalzahlen um, erhält man 118 = 910, 178 = 1510, 318 = 2510, 378 = 3110, 418 = 3310, 478 = 3910, 618 = 4910, 678 = 5510 und 718 = 5710, sieht man, dass nur die Oktalzahl 378 eine Primzahl ist. Auch die Duodezimalzahl 3712 = 4310­ ist eine Primzahl. Folglich ist 37 die einzige Lösung.

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